매트랩 [2계 상미분방정식] 라플라스 변환 (Laplace Transform)

Laplace 변환은 공학자들에게 기본적으로 중요하다. 상미분방정식의 풀이 과정을 대수적 문제의 풀이 과정으로 단순화 한다는 장점이 있다. Laplace 변환의 공식은

라플라스 변환 공식

Laplace 변환의 장점은 첫째, 상미분방정식을 풀 때 일차적인 일반해를 구할 필요 없이 초기값 문제를 풀이할 수 있다. 두번째, 시스템에 가해지는 구동력이 불연속적이거나, 순간적인 충격량, 복잡한 주기함수를 가질 때 유용하다.

 

2계 비제차 상미분방정식을 Laplace 변환을 통해 풀어보자!

초기값 조건은  y(0) = 1, y'(0) = 1 이다.

 

 

  1. 함수 설정 및 수식 세우기 

% Laplace transform and Solving ODE

% Declare Variable
syms y(t) s

% Declare Equations
ode = diff(y,t,2) - y == t;
Dy = diff(y);   % 초기값을 위해 정의

 

 

2. 상미분방정식 전체(양변)에 라플라스 변환 

% Compute the Laplace transform of eqn
eqn = laplace(ode, t, s);  % t의 함수에서 s의 함수로 변환

이때, eqn 안에는 

s^2*laplace(y(t), t, s) - s*y(0)  - subs(diff(y(t), t), t, 0) - laplace(y(t), t, s) == 1/s^2    이 들어 있다.

 

matlab 안에 'solve' 함수는 symbolic (sym) 변수에만 작동하므로 laplace(y(t), t, s) 을 Y_LT 로 대체하자!

'subs' 함수는 어떠한 식 안에 값을 치환 시켜주는 함수이다.

 

% Since 'solve' function only works for symbolic variables
% substitute laplace with variables
syms Y_LT
eqnLT = subs(eqnLT, [laplace(y(t),t,s)], Y_LT);

 

 

 

 

 3. 라플라스 변환이 이루어진 함수 구하기 위해서 eqnLT 를 Y_LT ( y(t)를 라플라스 변환시킨 함수 ) 에 대해서 푼다. 

 

Y_LT를 구한 후에는 다시 역변환을 통해 주어진 2계 상미분방정식의 일반해를 구한다.

 

vars = Y_LT;  % 상미분방정식을 vars, 즉 Y_LT 에 대해 풀어주기 위해 설정

% Solve
Y_LT = solve(eqnLT, vars);

Ysol = ilaplace(Y_LT, s, t);
% 식이 길 수 있으니, 간략화 시키기 위해 'simplify'를 쓰자
Ysol = simplify(Ysol);

 

 

4. 초기값 조건을 사용해준다. 

 

현재 Ysol 에는

exp(t)*(y(0)/2 + subs(diff(y(t), t), t, 0)/2 + 1/2) - t - exp(-t)*(subs(diff(y(t), t), t, 0)/2 - y(0)/2 + 1/2) 가 들어 있다.

 

아까 subs 를 통해 치환했던 것처럼 이번에는 초기값 조건을 이용하여 y(0) 과 diff(y(t),t) ( = Dy )  을 1 과 1 로 각각 바꾼다.

% Initial Conditions
vars = [y(0) Dy(0)];
values = [1 1];
Ysol = subs(Ysol, vars, values);

Ysol 은

일반 해

 

5. 그래프 그리기

% Plot Results
fplot(Ysol, [0 3])
title('Plot')

 

6. 결과 분석. 구한 해의 항들을 따로따로 그래프를 그려서 각 항들의 영향력을 분석해보자!

 

% Analyze Results

Yterms = children(Y1sol);
Yterms = [Yterms{:}];   % put all of them together

fplot(Yterms, [0 3])
title('Analyze')

분석 그래프

가장 높이 올라가는 노란색 곡선이

임을 직관적으로 알 수 있다. 이상으로 풀이를 마친다!