매트랩 [2계 상미분방정식] 초기값 문제. 용수철 운동 그래프 그리기.

용수철 운동은 세 가지로 나뉜다.

1. 저감쇠 (Under Damping)  2. 임계감쇠 (Critical Damping) 3. 과감쇠 (Over Damping)

 

하나하나 다뤄보기 전에 기본적인 용수철 운동의 공식을 알아보자. 

 

좌변은 질량 m 인 추의 합력을, 우변은 감쇠력과 용수철 복원력의 합이다. 즉, 추에 가해진 힘 = 합력(감쇠력+복원력).

 

                                      y'' : 추의 가속도,     y' : 추의 속도,     y : 추의 변위 

    my'' = -cy' - ky             m : 용수철에 매달린 추의 질량,    c : 감쇠 상수,    k : 용수철 상수

 

감쇠 상수를 제외하고 나머지 상수들은 임의로 정해준다. 

% mass
m = 5;

% string constant
k = 10;

 

감쇠 상수는 3가지를 array의 형태로 변수 c에 저장한다.

% Damping Constant
c = [10*sqrt(3), 10*sqrt(2), 2];

 

1. 과감쇠 (Over Damping)

 

1. 상계미분방정식 설정. 용수철 문제에 맞는 공식 사용.  my'' = -cy' - ky  

과감쇠는 감쇠상수(c)를 제일 큰 값인 

을 고른다.

용수철 공식에 따라서 2계 상미분방정식을 작성해 준다. 초기조건 적용을 위해 y'을 Dy 안에 따로 저장해준다.

% Overdamping
% damping constant
c1 = c(1);
syms y(t);

ode = diff(y,t,2)*m == -(c1)*diff(y) -k*y;
Dy = diff(y);

2. 초기값 설정. 이때 여러 경우를 보기 위해 2개의 초기값을 설정해주자. 각 초기값에 맞는 상미분방정식을 풀자! (dsolve)

% initial conditions
cond1 = y(0) == 6;
cond2 = Dy(0) == 1;
cond3 = Dy(0) == -1;
conds1 = [cond1 cond2];
conds2 = [cond1 cond3];
ySol_over1 = dsolve(ode, conds1);
ySol_over2 = dsolve(ode, conds2);

3. 그래프 그리기. x축을 원래의 축으로 표시해주고, hold on/off 를 사용해서 그래프를 한 figure에 동시에 그리자.

subplot(3,1,1);
fplot(ySol_over1, [0 10]);
hold on
fplot(ySol_over2, [0 10]);
set(gca, 'XAxisLocation', 'origin');
hold off

 

빠르게 0 에 도달하는 그래프를 볼 수 있다!

 

2. 임계 감쇠 (Critical Damping)

임계감쇠는 감쇠 상수가 두번째로 큰 값을 사용한다.

c2 = c(2);

감쇠 상수 c2

위의 방식과 동일하게 진행해준다!

ode1 = diff(y,t,2)*m == -(c2)*diff(y) - k*y;

ySol_crit1 = dsolve(ode1, conds1);
ySol_crit2 = dsolve(ode1, conds2);

그래프를 그려준다.

fplot(ySol_crit1, [0 10]);
hold on
fplot(ySol_crit2, [0 10]);
title('Critical Damping')
hold off

과감쇠와 유사한 그래프의 형태이다. 조금 더 x축에 빠르게 수렴하는 걸 볼 수 있다.

 

3. 저감쇠 (Under Damping)

c3 = c(3);

c3 안에 감쇠 상수 중 제일 작은 값인 2를 넣어준다.

나머지 과정은 위 2개의 과정과 동일하다!

ode2 = diff(y,t,2)*m == -(c3)*diff(y) -k*y;

ySol_under1 = dsolve(ode2, conds1);
ySol_under2 = dsolve(ode2, conds2);

그래프를 그려준다!

fplot(ySol_under1, [0 10]);
hold on
set(gca, 'XAxisLocation', 'origin')
fplot(ySol_under2, [0 10]);
title('Under Damping')
hold off

 

 

 

용수철 운동의 세 가지 대표적인 운동에 대해 알아 보았고 마지막으로 matlab 'subplot' 을 이용해서 3개의 그래프를 한번에 표시해보자.

...................................
subplot(3,1,1);
fplot(ySol_over1, [0 10]);
hold on
fplot(ySol_over2, [0 10]);
set(gca, 'XAxisLocation', 'origin');
title('Over Damping')
hold off
...................................
subplot(3,1,2);
fplot(ySol_crit1, [0 10]);
hold on
fplot(ySol_crit2, [0 10]);
title('Critical Damping')
hold off
...................................
subplot(3,1,3);
fplot(ySol_under1, [0 10]);
hold on
set(gca, 'XAxisLocation', 'origin')
fplot(ySol_under2, [0 10]);
title('Under Damping')
hold off