매트랩 [벡터] 선적분. 벡터장 안에서 곡선의 적분. (Integral of curve in Vector Field. Line Integral.)

우리 주위에는 굉장히 많은 벡터장이 있다. 중력장, 자기장, 전기장... 등등. 공학자는 자기 분야에 해당하는 벡터장에서 어떠한 물체가 어떻게 운동하는지 알 수 있어야 한다. 이번에는 벡터장 안에서 곡선이 어떻게 적분 되는 지를 판단해 보자.

 

먼저 곡선의 식 r(t)와 벡터장 F(x, y)의 식은 아래와 같다.

곡선(r) 과 벡터장(F)

이 두 함수를 이용하여 문제를 풀어보자.

 

1. 함수 정의 

syms F1(x,y) F2(x,y) r1(t) r2(t)
r1(t) = cos(t);
r2(t) = sin(t);

F1(x,y) = -y;
F2(x,y) = -x*y;

r = [r1;r2];
F = [F1;F2];

r과 F 모두 symfunc이며 각각

>> r                                          >> F
 
r(t) =                                        F(x, y) =
 
cos(t)                                        -y
sin(t)                                        -x*y을 갖는다.

 

2. 선적분의 정의에 따라서 F(r(t)) 와 r'(t) 값을 설정해 준다.

선적분의 정의

Fr = F(r1(t),r2(t));
dr = diff(r(t),t);

 

3. 적분하기. 위에서 구한 Fr과 dr을 dot 함수를 사용하여 곱해준 뒤 0부터 pi/2 구간에서 t에 대해 적분한다.

integrand = dot(Fr, dr);

work = int(integrand, t, [0 pi/2]);

>> work
 
work =
 
pi/4 - 1/3                 실제로 손으로 푼 결과와 일치한다!

 

 

이번엔 벡터장과 곡선을 같은 그래프 상에 그려 어떤 모습인지 그려보자.

 

먼저 벡터장 F 먼저 그려준다. F는 r(t)를 함수 인자로 받기 때문에 (F(r(t)) r의 범위 먼저 정의해 주자.

k = linspace(0,pi/2,20);
a = r1(k);
b = r2(k);

 위에서 구한 a, b를 통해 좌표계를 설정하고 F에 대입한다.

[A, B] = meshgrid(a,b);

F1_field = F1(A,B);
F2_field = F2(A,B);

quiver 함수를 이용하여 그래프를 그린다!

quiver(A,B,F1_field,F2_field), axis tight ;

벡터장

 

마지막으로 곡선을 그린다! 이미 구한 k를 이용하여 쉽게 그릴 수 있다.

r_x = r1(k);
r_y = r2(k);

hold on
plot(r_x, r_y);
hold off

벡터장과 곡선

 

끝!